Question

20．已知函數f（x）=ax³+bx²+cx，其導函數為f′（x）的部分值如表所示：

x	-3	-2	0	1	3	4	8
f'（x）	-24	-10	6	8	0	-10	-90

根據表中數據，回答下列問題：
（Ⅰ）實數c的值為6；當x=3時，f（x）取得極大值（將答案填寫在橫線上）．
（Ⅱ）求實數a，b的值．
（Ⅲ）若f（x）在（m，m+2）上單調遞減，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由極值的定義，通過表格可求解；
（Ⅱ）在表格中取兩組數據代入解析式即可；
（Ⅲ）利用導數求出f（x）的單調減區(qū)間D，依據（m，m+2）⊆D即可．

解答 解：（Ⅰ）6，3．------------------------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）解：f'（x）=3ax²+2bx+c，--------------------------------------------------------------（5分）
由已知表格可得$\left\{{\begin{array}{l}{f'（1）=8}\\{f'（3）=0}\end{array}}\right.$ 解得 $\left\{{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}}\right.$---------------------------------------------（7分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得f'（x）=-2x²+4x+6=-2（x-3）（x+1），-----------------------（8分）
由f'（x）＜0可得x∈（-∞，-1）∪（3，+∞），------------------------------------------------（9分）
因為f（x）在（m，m+2）上單調遞減，
所以僅需m+2≤-1或者m≥3，------------------------------------------------------（11分）
所以m的取值范為m≥3或m≤-3．-----------------------------------------------------（12分）

點評 本題考查了函數的定義及利用導數求單調區(qū)間，屬于基礎題．