Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

（2）若函數(shù)在上的最小值為，求的值；

（3）若,且對任意恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）3

【解析】試題分析：（1）求導函數(shù)，由導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2），對結(jié)合在上的最小值為，分類討論，建立等式，從而可得結(jié)論．

（3）問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，設，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的值即可．

試題解析：（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，

（2）， ，

Ⅰ．當時， ， 在上單調(diào)遞增， ，所以，舍去.

Ⅱ．當時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

①若， 在上單調(diào)遞增， ，所以，舍去，

②若， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得.

③若， 在上單調(diào)遞減， ，所以，舍去，

綜上所述， .

（3）由題意得： 對任意恒成立，即對任意恒成立.

令，則，令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

因為方程在上存在唯一的實根，且，當時， ，即，

當時， ，即.

所以函數(shù)在上遞減，在上單調(diào)遞增.

所以

所以，又因為，故整數(shù)的最大值為3.