Question

7．已知f（x）是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（3ⁿ）（n∈N₊），且a₁=3，則數(shù)列的通項公式為a_n=n•3ⁿ．

Answer 1

分析 利用賦值法，令x=3，y=3ⁿ，得f（3ⁿ⁺¹）=3f（3ⁿ）+3ⁿf（3），又因為a₁=f（3）=3，${a}_{n}=f（{3}^{n}）$，則${a}_{n+1}=3{a}_{n}+{3}^{n+1}$，再轉(zhuǎn)化為$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=1$，故$\{\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}\}$是首項和公差均為1的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=n$，則${a}_{n}=n•{3}^{n}$．

解答 解：∵${a}_{n}=f（{3}^{n}）$，∴${a}_{n+1}=f（{3}^{n+1}）$，且a₁=f（3）=3，
∵對于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立，
∴f（3ⁿ⁺¹）=f（3×3ⁿ）=3f（3ⁿ）+3ⁿf（3），即${a}_{n+1}=3{a}_{n}+{3}^{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}+1$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=1$，
又∵$\frac{{a}_{1}}{3}=1$，
∴$\{\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}\}$是首項和公差均為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=1+（n-1）•1=n$
∴${a}_{n}=n•{3}^{n}$
故答案為：n•3ⁿ

點評 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)應用、利用遞推式構造新數(shù)列以及等差數(shù)列的定義和通項公式，屬于中檔題．