Question

5．已知拋物線C：x²=2py的焦點F到準線l的距離為2，點P、Q都是拋物線上的點，且點Q與點P關于y軸對稱．
（Ⅰ）求拋物線的標準方程和焦點坐標；
（Ⅱ）圓E：x²+（y-4）²=1，過點P作圓C的兩條切線，分別與拋物線交于M，N兩點（M、N不與點P重合），若直線MN與拋物線在點Q處的切線平行，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得p=2，進而得到拋物線的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設$P（{{x_0}，\frac{x_0^2}{4}}）$，設過點P的圓E的切線：$y-\frac{x_0^2}{4}=k（{x-{x_0}}）$，由直線和圓相切的條件：d=r，可設直線PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，運用韋達定理，再由直線的斜率公式，化簡整理，即可得到所求點的坐標．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線C：x²=2py的焦點F到準線l的距離為2，可得p=2，
則拋物線的標準方程為x²=4y，焦點F（0，1）；
（Ⅱ）設$P（{{x_0}，\frac{x_0^2}{4}}）$，設過點P的圓E的切線：$y-\frac{x_0^2}{4}=k（{x-{x_0}}）$，
由圓心E（0，4）到切線距離為1，得$\frac{{|{-4+\frac{x_0^2}{4}-k{x_0}}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$．
即$（{x_0^2-1}）{k^2}-2{x_0}（{\frac{x_0^2}{4}-4}）k+{（{\frac{x_0^2}{4}-4}）^2}-1=0$．
由題可知：直線PM，PN均與x軸不垂直，
故可設直線PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁+k₂=$\frac{{2{x_0}（{\frac{x_0^2}{4}-4}）}}{{（{x_0^2-1}）}}$．（*）
由$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{x_0^2}{4}=k（{x-{x_0}}）\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，解得點M的橫坐標x₁=4k₁-x₀，
同理，點N的橫坐標x₂=4k₂-x₀．
于是，直線MN的斜率${k_{MN}}=\frac{{{y_M}-{y_N}}}{{{x_M}-{x_N}}}=\frac{{\frac{x_1^2}{4}-\frac{x_2^2}{4}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{4}=（{{k_1}+{k_2}}）-\frac{x_0}{2}$．
又因為對于拋物線來說，$y'=\frac{x}{2}$，
故點Q處切線的斜率為$-\frac{x_0}{2}$，
所以，由題${k_{MN}}=-\frac{x_0}{2}$得k₁+k₂=0．
代入（*）式得：x₀=0或±4．
所以點P的坐標為（0，0）或（±4，4）．

點評 本題考查拋物線的方程的求法，注意運用點到直線的距離公式，考查直線和圓相切的條件：d=r，直線方程和拋物線的方程聯(lián)立求交點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．