Question

【題目】已知橢圓C： + =1（α＞b＞0）的右焦點到直線x﹣y+3 =0的距離為5，且橢圓的一個長軸端點與一個短軸端點間的距離為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在點Q，使得過Q的直線與橢圓C交于A、B兩點，且滿足 + 為定值？若存在，請求出定值，并求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：右焦點F（c，0）到直線x﹣y+3 =0的距離為5，

可得 =5，解得c=2 ，

由題意可得a2+b2=10，又a2﹣b2=8，

解得a=3，b=1，

即有橢圓方程為 +y2=1

（2）解：假設在x軸上存在點Q（m，0），使得過Q的直線與橢圓C交于A、B兩點，

且滿足 + 為定值．

設過Q的直線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），

代入橢圓方程x2+9y2=9，可得t2（cos2α+9sin2α）+2mcosαt+m2﹣9=0，

可得△=（2mcosα）2﹣4（cos2α+9sin2α）（m2﹣9）＞0，

t1t2= ，t1+t2=﹣ ，

則 + = + = =

= 為定值，

即有2（m2+9）=18（9﹣m2），解得m=± ，

代入判別式顯然成立．

故在x軸上存在點Q（± ，0），使得過Q的直線與橢圓C交于A、B兩點，

且滿足 + 為定值10

【解析】（1）運用點到直線的距離公式，以及兩點的距離公式和a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；（2）假設在x軸上存在點Q（m，0），使得過Q的直線與橢圓C交于A、B兩點，且滿足 + 為定值．設過Q的直線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），代入橢圓方程，運用判別式大于0和韋達定理，化簡整理，再由同角的平方關系，解方程可得m，即可判斷存在Q．