Question

10．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)方程．
（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線l：θ=α（α∈[0，π），ρ∈R）與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求|OM|的最大值．

Answer 1

分析 （ I）利用平方關(guān)系可得曲線C的普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得出．
（II）聯(lián)立θ=α和ρ²+2ρcosθ-2ρsinθ-2=0，得ρ²+2ρ（cosα-sinα）-2=0，設(shè)A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），可得ρ₁+ρ₂=2（cosα-sinα）=2$\sqrt{2}$$sin（α-\frac{π}{4}）$，即可得出．

解答 解：（ I）曲線C的普通方程為（x+1）²+（y-1）²=4，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得ρ²+2ρcosθ-2ρsinθ-2=0．
（II）聯(lián)立θ=α和ρ²+2ρcosθ-2ρsinθ-2=0，
得ρ²+2ρ（cosα-sinα）-2=0，
設(shè)A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），
則ρ₁+ρ₂=2（cosα-sinα）=2$\sqrt{2}$$sin（α-\frac{π}{4}）$，
由|OM|=$\frac{|{ρ}_{1}+{ρ}_{2}|}{2}$，得|OM|=$\sqrt{2}$$|sin（α-\frac{π}{4}）|$$≤\sqrt{2}$，
當(dāng)α=$\frac{3π}{4}$時(shí)，|OM|取最大值$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程的應(yīng)用、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．