【題目】在如圖所示的六面體中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,四邊形ABEF是梯形,,平面平面ABEF,BE=2AF=2,EF.
(1)在圖中作出平面ABCD與平面DEF的交線,并寫出作圖步驟,但不要求證明;
(2)求證:平面DEF;
(3)求平面ABEF與平面ECD所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析(2)證明見解析(3)
【解析】
(1)延長(zhǎng)BA與EF相交于點(diǎn)P,連接PD,則直線PD就是平面ABCD與平面DEF的交線;
(2)證明四邊形ACDP是平行四邊形,可得,由線面平行的判定定理可得平面DEF;
(3)在平面ABEF內(nèi),過點(diǎn)A作FE的平行線交BE于點(diǎn)G,可得為直角三角形,
在平面ABEF內(nèi),過點(diǎn)A作AB的垂線交EF于點(diǎn)H,可得面ABCD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD的方向?yàn)?/span>x軸正方向,AB的方向?yàn)?/span>y軸正方向,AH的方向?yàn)?/span>z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可得平面ABEF與平面ECD所成銳二面角的余弦值.
解:(1)延長(zhǎng)BA與EF相交于點(diǎn)P,連接PD,則直線PD就是平面ABCD與平面DEF的交線;
(2)因?yàn)?/span>,所以AF是的中位線,故,
因?yàn)?/span>,所以,且,
所以四邊形ACDP是平行四邊形,所以,
因?yàn)?/span>面DEF,面DEF,
所以平面DEF
(3)在平面ABEF內(nèi),過點(diǎn)A作FE的平行線交BE于點(diǎn)G,又,所以四邊形AGEF為平行四邊形,
所以,
又因?yàn)?/span>,所以
所以為直角三角形,
且
在平面ABEF內(nèi),過點(diǎn)A作AB的垂線交EF于點(diǎn)H,
又因?yàn)槠矫?/span>平面ABEF,平面平面,
所以面ABCD.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD的方向?yàn)?/span>x軸正方向,AB的方向?yàn)?/span>y軸正方向,AH的方向?yàn)?/span>z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則,所以,
設(shè)是平面ECD的法向量,
則,即,所以可取.
因?yàn)?/span>是平面ABEF的法向量,
所以,
所以平面ABEF與平面ECD所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)與坐標(biāo)軸垂直的四條直線圍成的矩形(是第一象限內(nèi)的點(diǎn))的面積為,且過橢圓的右焦點(diǎn)的傾斜角為的直線過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)若射線與橢圓的交點(diǎn)分別為.當(dāng)它們的斜率之積為時(shí),試問的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)().
(1)討論的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)時(shí),.
(3)證明:當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:
未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用水量 | [0,0.1) | [0.1,0.2) | [0.2,0.3) | [0.3,0.4) | [0.4,0.5) | [0.5,0.6) | [0.6,0.7) |
頻數(shù) | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用 水量 | [0,0.1) | [0.1,0.2) | [0.2,0.3) | [0.3,0.4) | [0.4,0.5) | [0.5,0.6) |
頻數(shù) | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;
(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.3的概率;
(3)估計(jì)該家庭用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水.(一年按365天計(jì)算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的上頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為F,連結(jié)TF并延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)S,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線與x軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M的直線AB與交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P為直線上任意一點(diǎn),設(shè)直線AB與直線交于點(diǎn)N,記PA,PB,PN的斜率分別為,,,則是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立?若是,請(qǐng)求出的值;若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品400件,經(jīng)質(zhì)檢,其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬元、2萬元、1萬元,而1件次品虧損2萬元.設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位:萬元)為.
(1)求的分布列和1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即的期望);
(2)經(jīng)技術(shù)革新后,仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品,但次品率降為1%,一等品率提高為70%.如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.75萬元,則三等品率最多是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某控制器中有一個(gè)易損部件,現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了30個(gè)該部件的使用壽命,結(jié)果如下(單位:小時(shí));
710 721 603 615 760 742 841 591 590 721 718 750 760 713 709
681 736 654 722 732 722 715 726 699 755 751 709 733 705 700
(1)估計(jì)該部件的使用壽命達(dá)到一個(gè)月及以上的概率(一個(gè)月按30天計(jì)算);
(2)為了保證該控制器能穩(wěn)定工作,將若干個(gè)同樣的部件按下圖連接在一起組成集成塊,每一個(gè)部件是否能正常工作互不影響.對(duì)比和時(shí),哪個(gè)能保證集成塊使用壽命達(dá)到一個(gè)月及以上的概率超過0.8?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人2013-2017這五年的年度體檢的血壓值的折線圖如圖所示.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖,直接判斷甲、乙這五年年度體檢的血壓值誰的波動(dòng)更大,并求波動(dòng)更大者的方差;
(2)根據(jù)乙這五年年度體檢血壓值的數(shù)據(jù),求年度體檢血壓值關(guān)于年份的線性回歸方程,并據(jù)此估計(jì)乙在2018年年度體檢的血壓值.
(附:,)
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