Question

設(shè)向量

s

=（x+1，y），

t

=（y，x-1），（x，y∈R）滿足|

s

|+|

t

|=2

2

，已知定點A（1，0），動點P（x，y）
（1）求動點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過原點O作直線l交軌跡C于兩點M，N，若，試求△MAN的面積．
（3）過原點O作直線l與直線x=2交于D點，過點A作OD的垂線與以O(shè)D為直徑的圓交于點G，H（不妨設(shè)點G在直線OD上方），試判斷線段OG的長度是否為定值？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由|

s

|+|

t

|=2

2

，知

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=2

2

，由此能求出動點P（x，y）的軌跡C的方程．
（2）點A（1，0）和B（-1，0）為C的兩個焦點，連接BM，BN，由橢圓的對稱性可知四邊形AMBN是平行四邊形，所以∠AMB=π-∠MAN=

π

3

，設(shè)MA=r₁，MB=r₂，由橢圓定義知r₁²+r₂²+2r₁r₂=8．在△AMB中，由余弦定理知r12+r2 2-2r1r2cos

π

3

=4，所以r1r2=

4

3

，由此得S△MAN=

1

2

r1r2sin

π

3

=

3

3

．
（3）設(shè)動點D（2，y₀），則以O(shè)D為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-y₀）=0，直線GA：2x+y₀y-2=0，由此得G的軌跡方程是x²+y²=2，從而得到OG=

2

（定值）．

解答：解：（1）∵

s

=（x+1，y），

t

=（y，x-1），（x，y∈R）滿足|

s

|+|

t

|=2

2

，
∴

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=2

2

，
∴動點P（x，y）的軌跡C的方程是以（±1，0）為焦點，以長軸長為2

2

，短軸長為2的橢圓，
∴動點P（x，y）的軌跡C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）∵點A（1，0）和B（-1，0）為C的兩個焦點，連接BM，BN，
由橢圓的對稱性可知四邊形AMBN是平行四邊形，
∴∠AMB=π-∠MAN=

π

3

，
設(shè)MA=r₁，MB=r₂，
由橢圓定義知r1+r2=2

2

，即r₁²+r₂²+2r₁r₂=8，
在△AMB中，由余弦定理知r12+r2 2-2r1r2cos

π

3

=4，
兩式作差，得r1r2=

4

3

，
∴S△MAN=

1

2

r1r2sin

π

3

=

3

3

．
（3）設(shè)動點D（2，y₀），
則以O(shè)D為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-y₀）=0，①
直線GA：2x+y₀y-2=0，②
由①②聯(lián)立消去y₀得G的軌跡方程是x²+y²=2，
∴OG=

2

（定值）

點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運用圓錐曲線的性質(zhì)進行等價轉(zhuǎn)化．