分析 (1)設(shè)x1<x2<0,然后通過作差判斷f(x1)和f(x2)的大小關(guān)系即可;
(2)假設(shè)存在,利用奇函數(shù)的定義,即可得出結(jié)論.
解答 (1)證明:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2.
則$f({x_1})-f({x_2})=(a-\frac{2}{{{2^{x_1}}-1}})-(a-\frac{2}{{{2^{x_2}}-1}})$=$\frac{2}{{{2^{x_2}}-1}}-\frac{2}{{{2^{x_1}}-1}}$=$\frac{{2({2^{x_1}}-{2^{x_2}})}}{{({2^{x_1}}-1)({2^{x_2}}-1)}}$=$\frac{{2•{2^{x_1}}(1-{2^{{x_2}-{x_1}}})}}{{({2^{x_1}}-1)({2^{x_2}}-1)}}$.…(4分)
因?yàn)閤1,x2∈(-∞,0),故${2^{x_1}}-1<0$,${2^{x_2}}-1<0$,
又因?yàn)閤1<x2,所以${2^{{x_2}-{x_1}}}>1$.
所以$\frac{{2•{2^{x_1}}(1-{2^{{x_2}-{x_1}}})}}{{({2^{x_1}}-1)({2^{x_2}}-1)}}<0$,即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2).
所以f(x)在x上為增函數(shù)…(6分)
(2)解:對任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).
$f(x)+f(-x)=a-\frac{2}{{{2^x}-1}}+a-\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}$=$2a-\frac{2}{{{2^x}-1}}-\frac{{2•{2^x}}}{{1-{2^x}}}$=$2a+\frac{{2•{2^x}-2}}{{{2^x}-1}}$=2a+2=0…(10分)
解得a=-1,此時(shí)f(-x)=-f(x).
所以存在a=-1,使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)…(12分)
點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性,考查增函數(shù)的定義,以及利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的過程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -3<a<1 | B. | a<-3或a>1 | C. | a<1 | D. | a>1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {x|0<x<2} | B. | {x|1<x≤2} | C. | {x|1<x<2} | D. | {x|0<x≤2} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | i>3? | B. | i<4? | C. | i>4? | D. | i<5? |
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