Question

如圖，P－ABCD是正四棱錐，ABCD－A₁B₁C₁D₁是正方體，

其中AB＝2，PA＝．

(1)求證：PA⊥B₁D₁；

(2)求平面PAD與平面BDD₁B₁所成的銳二面角θ的大小；

(3)求B₁到平面PAD的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系 　　(1)設E是BD的中點，P－ABCD是正四棱錐，∴ 　　又，∴∴ 　　∴ 　　∴即　　　　4分 　　(2)設平面PAD的法向量是， 　　∴取得，又平面的法向量是 　　∴∴　　　　8分 　　(3)∴到平面PAD的距離　　　　12分 解法二：(1)設AC與BD交點為O，連AO，PO；∵P－ABCD是正四棱錐，∴PO⊥面ABCD， ∴AO為PA在平面ABCD上的射影，又ABCD為正方形，∴AO⊥BD，由三垂線定理知 PA⊥BD，而BD∥B1D1；∴………4分 (2)由題意知平面PAD與平面所成的銳二面角為二面角A－PD－B； ∵AO⊥面PBD，過O作OE垂直PD于E，連AE，則由三垂線定理知∠AEO為二面角A－PD－B的平面角；可以計算得， (3)設B1C1與BC的中點分別為M、N；則到平面PAD的距離為M到平面PAD的距離； 由VM－PAD＝VP－ADM求得；或者d為M點到直線PK的距離(K為D的中點)；