Question

20．非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$|$\overline$|，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$），則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的大小為$\frac{3}{4}$π．

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$與$|\overrightarrow|$的關(guān)系，然后代入數(shù)量積公式求得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$|$\overline$|，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$），
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）=$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-3|\overrightarrow{|}^{2}=0$，
即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=3|\overrightarrow{|}^{2}-2|\overrightarrow{a}{|}^{2}=3|\overrightarrow{|}^{2}-4|\overrightarrow{|}^{2}=-|\overrightarrow{|}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{-|\overrightarrow{|}^{2}}{\sqrt{2}|\overrightarrow{|}^{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{3π}{4}$．
故答案為：$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查數(shù)量積求向量的夾角，向量垂直與數(shù)量積間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．