Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$-2+2alnx．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值為0，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{2a}{x}$=$\frac{2ax-2}{{x}^{2}}$（x＞0）．分類(lèi)討論：a≤0時(shí)，a＞0時(shí)，即可得出單調(diào)性．
（2）由（1）可得：①a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞減，可得f（2）=0，解得a．
②a＞0時(shí)，分類(lèi)討論：（i）$\frac{1}{a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)；（ii）0＜$\frac{1}{a}$$≤\frac{1}{2}$，即a≥2時(shí)；（iii）$\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜2$，即$\frac{1}{2}＜a＜2$時(shí)，利用其單調(diào)性即可得出極值與最值．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{2a}{x}$=$\frac{2ax-2}{{x}^{2}}$（x＞0）．
a≤0時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
a＞0時(shí)，f′（x）=$\frac{2a（x-\frac{1}{a}）}{{x}^{2}}$，則x∈$（0，\frac{1}{a}）$時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
x∈$（\frac{1}{a}，+∞）$時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
（2）由（1）可得：
①a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞減，則f（2）=1-2+2aln2=0，解得a=$\frac{1}{2ln2}$，舍去．
②a＞0時(shí)，
（i）$\frac{1}{a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞減，則f（2）=1-2+2aln2=0，解得a=$\frac{1}{2ln2}$$＞\frac{1}{2}$，舍去．
（ii）0＜$\frac{1}{a}$$≤\frac{1}{2}$，即a≥2時(shí)，f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，則f（$\frac{1}{2}$）=4-2+2aln$\frac{1}{2}$=0，解得a=$\frac{1}{ln2}$＜2，舍去．
（iii）$\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜2$，即$\frac{1}{2}＜a＜2$時(shí)，f（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{a}，2]$上單調(diào)遞增．
則f（$\frac{1}{a}$）=2a-2+2aln$\frac{1}{a}$=0，化為：2a-2=2alna，
令g（x）=2x-2-2xlnx（x＞0），g（1）=0，
g′（x）=2-2lnx-2=-2lnx，可得x＞1時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，1＞x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
∴x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值．
∴g（x）≤g（1）=0，因此2a-2=2alna有唯一解a=1．滿足條件．
綜上可得：a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用對(duì)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式與付出的解法、分類(lèi)討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．