Question

12．已知函數(shù)f（x）=x-xlnx，數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{e}$，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：$\frac{1}{e}≤{a_n}＜{a_{n+1}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出x＞0，f′（x）=1-lnx-1=-lnx，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{e}$，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，結(jié)合f（x）的單調(diào)性利用數(shù)學(xué)歸納法能證明：$\frac{1}{e}≤{a_n}＜{a_{n+1}}＜1$．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x-xlnx，
∴x＞0，f′（x）=1-lnx-1=-lnx，
由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
證明：（2）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{e}$，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
∴①$n=1，{a_2}=\frac{2}{e}$，滿足$\frac{1}{e}≤{a_1}＜{a_2}＜1$．
②假設(shè)n=k（k≥1），$\frac{1}{e}≤{a_k}＜{a_{k+1}}＜1$成立，
則n=k+1時(shí)，
由（1）知，f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)$x∈[\frac{1}{e}，1）$時(shí)，$f（x）∈[\frac{2}{e}，1）$
∴$f（\frac{1}{e}）≤f（{a_k}）＜f（{a_{k+1}}）＜f（1）$$⇒\frac{2}{e}≤{a_k}＜{a_{k+1}}＜1$$⇒\frac{1}{e}≤{a_k}＜{a_{k+1}}＜1$
由①②知：$\frac{1}{e}≤{a_n}＜{a_{n+1}}＜1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．