【題目】已知函數(shù),
(
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求曲線在
處的切線的方程;
(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù),
恒成立,試確定
的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)
在
上是否存在極值?若存在,請(qǐng)求出極值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不存在,理由見(jiàn)解析
【解析】
(1) 求得的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率和切點(diǎn),由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程;
(2) 討論和
,由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù),求出導(dǎo)數(shù),單調(diào)區(qū)間,可得最值,進(jìn)而
得到所求的范圍;
(3)依題意,,求出導(dǎo)數(shù),可令
, 求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、可得最值,進(jìn)而得到M(x)的單調(diào)性,即可判斷存在性.
(1),
.
在
處的切線斜率為
,
∴切線的方程為
,即
.
(2)∵對(duì)于任意實(shí)數(shù),
恒成立,
∴若,則
為任意實(shí)數(shù)時(shí),
恒成立;
若,
恒成立,即
,在
上恒成立,
設(shè),則
,
當(dāng)時(shí),
,則
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
,則
在
上單調(diào)遞減;
所以當(dāng)時(shí),
取得最大值,
,
所以的取值范圍為
.
綜上,對(duì)于任意實(shí)數(shù),
恒成立的實(shí)數(shù)
的取值范圍為
.
(3)依題意,,所以
,
設(shè),則
,當(dāng)
,
故在
上單調(diào)增函數(shù),因此
在
上的最小值為
,
即,又
,所以在
上,
,即
在
上不存在極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和
的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)是曲線
上一點(diǎn),此時(shí)參數(shù)
,將射線
繞原點(diǎn)
逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
交曲線
于點(diǎn)
,記曲線
的上頂點(diǎn)為點(diǎn)
,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,證明:函數(shù)
在
上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)
在
內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)?若存在,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. (參考數(shù)據(jù):
,
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】由中央電視臺(tái)綜合頻道和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國(guó)首檔青年電視公開課.每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事,分享他們對(duì)于生活和生命的感悟,給予中國(guó)青年現(xiàn)實(shí)的討論和心靈的滋養(yǎng),討論青年們的人生問(wèn)題,同時(shí)也在討論青春中國(guó)的社會(huì)問(wèn)題,受到青年觀眾的喜愛(ài),為了了解觀眾對(duì)節(jié)目的喜愛(ài)程度,電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了
、
兩個(gè)地區(qū)的100名觀眾,得到如下的
列聯(lián)表,已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名,該觀眾是
地區(qū)當(dāng)中“非常滿意”的觀眾的概率為0.4.
非常滿意 | 滿意 | 合計(jì) | |
35 | 10 |
| |
| |||
合計(jì) |
|
|
|
(1)現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,則應(yīng)抽取“非常滿意”的、
地區(qū)的人數(shù)各是多少.
(2)完成上述表格,并根據(jù)表格判斷是否有的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
附:參考公式:.
(3)若以抽樣調(diào)查的頻率為概率,從、
兩個(gè)地區(qū)隨機(jī)抽取2人,設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為
,求
的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
參數(shù)方程為
為參數(shù)),將曲線
上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的
,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的
,得到曲線
.
(1)求曲線的普通方程;
(2)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為
的直線
與曲線
交于
兩點(diǎn),求
取得最小值時(shí)
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)在
內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)
的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
為常數(shù),若當(dāng)
時(shí),
有三個(gè)極值點(diǎn)
(其中
).
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的,G是的中點(diǎn).
(1)設(shè)P是上的一點(diǎn),且AP⊥BE,求∠CBP的大。
(2)當(dāng)AB=3,AD=2時(shí),求二面角E-AG-C的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是等邊三角形,
是
邊上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),記
,
.
(1)求的最大值;
(2)若,求
的面積.
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