Question

【題目】已知圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為.

（1）若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處，求此時(shí)切線的方程；

（2）求滿足的點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）或； （2）.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)過點(diǎn)P的切線斜率存在時(shí)，由點(diǎn)斜式設(shè)出切線方程，再利用圓心到切線的距離等于半徑求得k的值，可得切線方程．當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，要檢驗(yàn)是否滿足條件，從而得出結(jié)論． （2）設(shè)點(diǎn)，由圓的切線的性質(zhì)知，為直角三角形，可得，；由，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)P的軌跡方程為.

試題解析：

解: 把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋1）2＋（y－2）2＝4，

∴圓心為C（－1,2），半徑r＝2.

（1）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)l的方程為x＝1，C到l的距離d＝2＝r，滿足條件．

當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，得l的方程為y－3＝k（x－1），即kx－y＋3－k＝0，

則＝2，解得k＝.

∴l(xiāng)的方程為y－3＝（x－1），

即3x＋4y－15＝0.

綜上，滿足條件的切線l的方程為或.

（2）設(shè)P（x，y），則|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝（x＋1）2＋（y－2）2－4，

|PO|2＝x2＋y2，

∵|PM|＝|PO|.

∴（x＋1）2＋（y－2）2－4＝x2＋y2，

整理，得2x－4y＋1＝0，

∴點(diǎn)P的軌跡方程為.