Question

2．在隊(duì)內(nèi)羽毛球選拔賽中，選手M與B₁，B₂，B₃三位選手分別進(jìn)行一場(chǎng)對(duì)抗賽，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，M獲勝的概率分別為$\frac{4}{5}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$，且各場(chǎng)比賽互不影響．
（1）若M至少獲勝兩場(chǎng)的概率大于$\frac{7}{10}$，則M入選下一輪，否則不予入選，問M是否會(huì)入選下一輪？
（2）求M獲勝場(chǎng)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．
（2）利用相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率計(jì)算公式及其分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出

解答 解：（1）M與B₁，B₂，B₃進(jìn)行對(duì)抗賽獲勝的事件分別為A，B，C，M至少獲勝兩場(chǎng)的事件為D，
則P（A）=$\frac{4}{5}$，P（B）=$\frac{2}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$由于事件A，B，C相互獨(dú)立，
所以P（D）=P（ABC）+P$（\overline{A}BC）$+$P（A\overline{B}C）$+P（$AB\overline{C}$）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{15}$，
由于$\frac{11}{15}=\frac{22}{30}$$＞\frac{21}{30}$=$\frac{7}{10}$，所以M會(huì)入選下一輪．
（2）M獲勝場(chǎng)數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，則P（X=0）=（1-$\frac{4}{5}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{30}$，
P（X=1）=（1-$\frac{4}{5}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{30}$，
P（X=2）=（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{14}{30}$，
P（X=3）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{8}{30}$．

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{7}{30}$	$\frac{14}{30}$	$\frac{8}{30}$

數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{7}{30}$+2×$\frac{14}{30}$+3×$\frac{8}{30}$=$\frac{59}{30}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．