Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+b（a、b為常數(shù)）．
（1）如果函數(shù)f（x）是區(qū)間[b-2，b]上的偶函數(shù)，求a、b的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=log₂x．
①判斷g（x）在區(qū)間[1，4]上的單調(diào)性，并寫出g（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值和最大值；
②閱讀下面題目及解法：
題目：對(duì)任意x∈[1，4]，2^x+m恒大于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：設(shè)h（x）=2^x+m，則對(duì)任意x∈[1，4]，2^x+m恒大于1?當(dāng)x∈[1，4]，h（x）_min＞1．
由h（x）在區(qū)間[1，4]上遞增，知h（x）_min=h（1）=2+m＞1，所以m＞-1．
學(xué)習(xí)以上題目的解法，試解決下面問(wèn)題：
當(dāng)f（x）中的a=4時(shí)，若對(duì)任意x₁、x₂∈[1，4]，f（x₁）恒大于g（x₂），求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的最值及其幾何意義,類比推理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到b-2+b=0求出b的值，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則a=0；
（2）①顯然遞增，據(jù)此求出最值；
②實(shí)際上是將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)解，因此只需利用單調(diào)性求出f（x₁）_min以及g（x₂）_max則問(wèn)題可解．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是區(qū)間[b-2，b]上的偶函數(shù)，所以b-2+b=0，所以b=1，由f（-x）=f（x）恒成立得-ax=ax恒成立，故a=0，所以a=0．b=1即為所求；
（2）①因?yàn)?＞1，所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=log₂x在[1，4]上遞增，所以y_min=log₂1=0，y_max=log₂4=2；
②a=4時(shí)，f（x）=x²-4x+b=（x-2）²+b-4，所以f（x）在[1，2]上遞減，在[2，4]上遞增，所以當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_min=b-4；由①知，g（x）_max=2．
而要使對(duì)任意x₁、x₂∈[1，4]，f（x₁）恒大于g（x₂），只需f（x₁）_min≥g（x₂）_max，即b-4≥2即可
解得b≥6即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了利用單調(diào)性求最值得基本思想，以及恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)解的基本思路，要注意體會(huì)，多加練習(xí)．