Question

11．若f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-sin\frac{π}{2}x+1，0≤x≤2\\ f（x-1），x＞2\end{array}$，若方程f（x）=kx恰有3個不同的根，則實數(shù)k的取值范圍是[-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 利用周期與對稱性得出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)交點個數(shù)列出不等式得出k的范圍．

解答 解：∵當(dāng)x＞2時，f（x）=f（x-1），
∴f（x）在（1，+∞）上是周期為1的函數(shù)，
作出y=f（x）的函數(shù)圖象如下：

∵方程f（x）=kx恰有3個不同的根，
∴y=f（x）與y=kx有三個交點，
若k＞0，則$\left\{\begin{array}{l}{3k≤1}\\{4k＞1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{4}$＜k≤$\frac{1}{3}$，
若k＜0，由對稱性可知-$\frac{1}{3}$≤k＜-$\frac{1}{4}$．
故答案為：[-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)周期與奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．