Question

14．已知向量$\overrightarrow a$=（cosx+sinx，2sinx），$\overrightarrow b$=（cosx-sinx，cosx）．令f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）在[${\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算并化簡(jiǎn)即可得出$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，從而便可得出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)x$∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$即可求出2x+$\frac{π}{4}$的范圍，進(jìn)而得出2x$+\frac{π}{4}$在哪個(gè)范圍時(shí)f（x）單調(diào)遞增，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)x的范圍，即得出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（I）f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2sinx•cosx
=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$；
∴$T=\frac{2π}{2}=π$；
即f（x）的最小正周期為π；
（II）$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$；
∴$（2x+\frac{π}{4}）∈[\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}]$；
∴$（2x+\frac{π}{4}）∈[\frac{3π}{2}，\frac{7π}{4}]$，即$x∈[\frac{5π}{8}，\frac{3π}{4}]$時(shí)f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[\frac{5π}{8}，\frac{3π}{4}]$．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角的正弦公式，兩角和的正余弦公式，以及求最小正周期的計(jì)算公式，熟悉正弦函數(shù)的圖象，以及增函數(shù)的定義．