Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且橢圓C上的點到橢圓右焦點F的最小距離為$\sqrt{2}$-1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F且不與坐標軸平行的直線l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，線段AB的中點為M，直線MP⊥AB，若P點的坐標為（x₀，0），求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率a=$\sqrt{2}$c，由當點位于右頂點時，到橢圓右焦點F的最小距離，則a-c=$\sqrt{2}$-1，即可求得a和b的值；
（Ⅱ）設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，中點坐標公式，即可求得MP的方程，求得x₀，根據(jù)函數(shù)單調性即可求得x₀的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，由當點位于右頂點時，到橢圓右焦點F的最小距離，最小值為a-c，
則a-c=$\sqrt{2}$-1，則a=$\sqrt{2}$，c=1，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x_M，y_M）．
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，則x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y_M=k（x_M-1）=-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$，
∴AB的垂直平分線MP的方程為y-y_M=-$\frac{1}{k}$（x-x_M），
令y=0，得x₀=x_M+ky_M=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{k}^{2}+2}$，
∵k≠0，∴0＜x₀＜$\frac{1}{2}$．
∴x₀的取值范圍（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、線段的垂直平分線，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．