Question

11．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax，a∈R．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x＞1時，f（x-1）≤$\frac{lnx}{x+1}$恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）首先對f（x）求導，分類討論a判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（II）由題意知：f（x-1）-$\frac{lnx}{x+1}$=$\frac{xlnx-a（{x}^{2}-1）}{x+1}$，令g（x）=xlnx-a（x²-1），x≥1，g'（x）=lnx+1-2ax，令h（x）=lnx+1-2ax，h'（x）=$\frac{1}{x}$-2a=$\frac{1-2ax}{x}$；利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而求出a的取值范圍．

解答 解：（I）f（x）的定義域為（-1，+∞），
f'（x）=$\frac{1}{x+1}-a$=$\frac{1-a（x+1）}{x+1}$；
①若a≤0，則f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
②若a＞0，則f'（x）=0得x=$\frac{1}{a}-1$，
當x∈（-1，$\frac{1}{a}-1$）時，f'（x）＞0，
當x∈（$\frac{1}{a}-1$，+∞）時，f'（x）＜0；
∴f（x）在（-1，$\frac{1}{a}-1$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}-1$，+∞）上單調(diào)遞減．
綜上，當a≤0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）；
當a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，$\frac{1}{a}-1$），單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{a}-1，+∞$）；

（II）f（x-1）-$\frac{lnx}{x+1}$=$\frac{xlnx-a（{x}^{2}-1）}{x+1}$；
令g（x）=xlnx-a（x²-1），x≥1，g'（x）=lnx+1-2ax；
令h（x）=lnx+1-2ax，h'（x）=$\frac{1}{x}$-2a=$\frac{1-2ax}{x}$；
①若a≤0，h'（x）＞0，g'（x）在[1，+∞）遞增，g'（x）≥g'（1）=1-2a≥0；
∴g（x）在[1，+∞）上遞增，g（x）≥g（1）=0；
從而f（x-1）-$\frac{lnx}{x+1}$≥0，不符合題意．
②若0＜a＜$\frac{1}{2}$，當x∈（1，$\frac{1}{2a}$）時，h'（x）＞0，g'（x）在（1，$\frac{1}{2a}$）上遞增，
從而g'（x）＞g'（1）=1-2a＞0；
所以，g（x）在[1，+∞）遞增，g（x）≥g（1）=0；
從而f（x-1）-$\frac{lnx}{x+1}$≥0，不符合題意．
③若a≥$\frac{1}{2}$，h'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
所以g'（x）在[1，+∞）上遞減，g'（x）≤g'（1）=1-2a≤0；
從而g（x）在[1，+∞）遞減，
所以g（x）≤g（1）=0；
∴f（x-1）-$\frac{lnx}{x+1}≤$ 0；
綜上所以，a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及分類討論思想的應用，屬中等題．