Question

5．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{{∫}_{x}^{0}（2t+2-{e}^{t}）dt，x≤0}\end{array}\right.$，則函數(shù)h（x）=f（x）+1有2個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{{∫}_{x}^{0}（2t+2-{e}^{t}）dt，x≤0}\end{array}\right.$，分析出兩段上函數(shù)h（x）=f（x）+1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，綜合可得答案．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，令h（x）=f（x）+1=lnx+1=0，解得：x=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)x≤0時(shí)，h（x）=f（x）+1=${∫}_{x}^{0}（2t+2-{e}^{t}）dt$+1=${{（t}^{2}+2t-{e}^{t}）|}_{x}^{0}$+1=e^x-x²-2x，
令g（x）=e^x-x²-2x，x≤0，
則g′（x）=e^x-2x-2，
∵g′（x）＞0在x≤0時(shí)恒成立，
故g（x）為增函數(shù)，
又由g（0）=1，$\lim_{x→-∞}g（x）=-∞$得，此時(shí)函數(shù)也有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上可得：函數(shù)h（x）=f（x）+1有2個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)，積分運(yùn)算，難度中檔．