Question

5．設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，并滿足f（x，y）=f（x）+f（y），f（4）=1
（1）求f（1）的值；
（2）若存在實(shí)數(shù)m，使f（m）=2，求m的值
（3）如果f（x²-4x-5）＜2求x的范圍．

Answer 1

分析 （1）采用賦值法，令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）即可；
（2）因?yàn)閒（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，所以至多存在一個(gè)m的值，使得f（m）=2，然后利用f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1，采用賦值法求出m的值；
（3）由（2）得f（16）=2，及y=f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，可得f（x²-4x-5）＜2⇒0＜x²-4x-5＜16，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
（2）根據(jù)f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1，
2=1+1=f（4）+f（4）=f（16）=f（m），又因?yàn)閥=f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
所以m=16．
即存在實(shí)數(shù)m=16，使得f（m）=2．
（3）由（2）得f（16）=2．∴f（x²-4x-5）＜2⇒f（x²-4x-5）＜f（16），
∵y=f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴0＜x²-4x-5＜16⇒-3＜x＜-1或5＜x＜7，
x的范圍：{x|-3＜x＜-1或5＜x＜7}，

點(diǎn)評(píng) 本題是一道抽象函數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是用好賦值法來(lái)求解，要注意定義域，屬于中檔題．