Question

20．如圖，點(diǎn)B是以AC為直徑的圓周上的一點(diǎn)，PA=AB=BC，AC=4，PA⊥平面ABC，點(diǎn)E為PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直線AE與平面PAC所成角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BC⊥面PAC，推出BC⊥AE，然后證明AE⊥PB，推出AE⊥平面PBC，然后證明平面AEC⊥平面PBC．
（Ⅱ）作BO⊥平面APC，取PO的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，連結(jié)AG，說明∠EAG就是直線AE與平面PAC所成角，通過解三角形求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA⊥⊙O所在平面，且BC為⊙O的弦，
∴PA⊥BC
∵AB為⊙O的直徑，
∴BC⊥AC．
而PA∩AC=A．
∴BC⊥面PAC，
∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE，
∵PA=AB，PA⊥平面ABC，點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)．
∴AE⊥PB，PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC．
∵AE?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：作BO⊥平面APC，取PO的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，
則EG∥BO，⇒EG⊥平面PAC，連結(jié)AG，
∴∠EAG就是直線AE與平面PAC所成角，
AE=$\frac{1}{2}$PB=2，GE=$\frac{1}{2}OB$=1，
∴sin∠EAG=$\frac{GE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴直線AE與平面PAC所成角為：$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，直線與平面所成角的求法，其中熟練掌握空間線面垂直、平行的判定、性質(zhì)，善于根據(jù)直角三角形、圓周角的性質(zhì)，判斷出直線與直線垂直是解答本題的關(guān)鍵．