Question

19．在△ABC中，D為BC上的點，AD平分∠BAC，且△ABD的面積是△ACD的面積的一半．
（Ⅰ）求$\frac{sin∠B}{sin∠C}$的值；
（Ⅱ）若∠BAC=120°，AD=1，求AC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意畫出圖象，由條件和三角形的面積公式可得CD=2BD，在△ABD、△ACD中，由正弦定理分別求出sin∠B、sin∠C，由條件得$\frac{sin∠B}{sin∠C}$的值；
（Ⅱ）設(shè)BD=x，AB=y，由（I）和正弦定理表示出CD、AC，在△ABD、△ACD中，由條件和余弦定理分別列出方程，聯(lián)立求出y的值，可得AC的長．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意畫出圖象：
∵△ABD的面積是△ACD的面積的一半，∴CD=2BD，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sin∠B}$，
即sin∠B=$\frac{AD•sin∠BAD}{BD}$，
在△ACD中，同理可得sin∠C=$\frac{AD•sin∠CAD}{CD}$，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∴$\frac{sin∠B}{sin∠C}$=$\frac{CD}{BD}$=2；
（Ⅱ）由（I）知，CD=2BD，設(shè)BD=x，則CD=2x，
在△ABC中有$\frac{sin∠B}{sin∠C}$=2，由正弦定理得AC=2AB，
設(shè)AB=y，則AC=2y，
∵∠BAC=120°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=60°，
又AD=1，在△ABD中，由余弦定理得，
BD²=AB²+AD²-2•AB•ADcos∠BAD，
則x²=y²+1-y，①
在△ACD中，同理可得4x²=4y²+1-2y，②
聯(lián)立①②解得，y=$\frac{3}{2}$，
∴AC=2y=$2×\frac{3}{2}$=3．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，以及三角形的面積公式的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．