Question

19．函數(shù)f（x）=|x|-$\frac{a}{x}$（a∈R）的圖象不可能是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 討論a的范圍，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性得出答案．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{a}{x}，x＞0}\\{-x-\frac{a}{x}，x＜0}\end{array}\right.$，∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{a}{{x}^{2}}，x＞0}\\{-1+\frac{a}{{x}^{2}}，x＜0}\end{array}\right.$．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x＞0}\\{-x，x＜0}\end{array}\right.$，圖象為A；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，1+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
令-1+$\frac{a}{{x}^{2}}$=0得x=-$\sqrt{a}$，∴當(dāng)x＜-$\sqrt{a}$時(shí)，-1+$\frac{a}{{x}^{2}}$＜0，當(dāng)-$\sqrt{a}$＜x＜0時(shí)，-1+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在（-∞，-$\sqrt{a}$）上單調(diào)遞減，在（-$\sqrt{a}$，0）上單調(diào)遞增，圖象為D；
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，-1+$\frac{a}{{x}^{2}}$＜0，∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
令1+$\frac{a}{{x}^{2}}$=0得x=$\sqrt{-a}$，∴當(dāng)x＞$\sqrt{-a}$時(shí)，1+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，當(dāng)0＜x＜$\sqrt{-a}$時(shí)，1+$\frac{a}{{x}^{2}}$＜0，
∴f（x）在（0，$\sqrt{-a}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{-a}$，+∞）上單調(diào)遞增，圖象為B；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論思想，屬于中檔題．