Question

9．下列命題中，真命題的個數(shù)為①對任意的a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要條件；②在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB；③非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0$，則向量$\overrightarrow a$與向量$\overrightarrow b$的夾角為銳角；④$\frac{ln3}{3}＞\frac{ln2}{2}＞\frac{ln5}{5}$．（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 對于①，分a＞b≥0、a≥0＞b、0＞a＞b三類討論，可判斷①正確；
對于②，在△ABC中，利用正弦定理可判斷②正確；
對于③，非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0$⇒向量$\overrightarrow a$與向量$\overrightarrow b$的夾角為銳角或0，可判斷③錯誤；
對于④，利用作差法可判斷$\frac{ln3}{3}$-$\frac{ln2}{2}$=$\frac{ln9-ln8}{6}$＞0，即$\frac{ln3}{3}$＞$\frac{ln2}{2}$；同理可得，$\frac{ln2}{2}＞\frac{ln5}{5}$，可判斷④正確．

解答 解：對于①，若a＞b≥0，則a|a|＞b|b|顯然成立；
若a≥0＞b，a|a|＞b|b|?a²＞-b²?a²+b²＞0，成立；
若0＞a＞b，a|a|＞b|b||?-a²＞-b²?a²＜b²，成立；
故對任意的a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要條件，故①正確；
對于②，在△ABC中，若A＞B，則a＞b，又由正弦定理知，a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，故②正確；
對于③，非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0$，則向量$\overrightarrow a$與向量$\overrightarrow b$的夾角為銳角或0，故③錯誤；
對于④，∵$\frac{ln3}{3}$-$\frac{ln2}{2}$=$\frac{2ln3-3ln2}{6}$=$\frac{ln9-ln8}{6}$＞0，
∴$\frac{ln3}{3}$＞$\frac{ln2}{2}$；
同理可得，$\frac{ln2}{2}＞\frac{ln5}{5}$；
∴$\frac{ln3}{3}＞\frac{ln2}{2}＞\frac{ln5}{5}$，故④正確．
綜上所述，真命題的個數(shù)為3個，
故選：C．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查充分必要條件、正弦定理、向量的數(shù)量積及對數(shù)的運算性質，考查分類討論思想、等價轉化思想的綜合運用，屬于中檔題．