Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$[cos（2x+$\frac{π}{6}$）+4sinxcosx]+1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）令g（x）=af（x）+b，若函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域?yàn)閇-1.1]，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)解析式為f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，利用周期公式即可計(jì)算得解．
（2）由范圍x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域，分類討論，解方程組即可得解．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$[cos（2x+$\frac{π}{6}$）+4sinxcosx]+1
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x+2sin2x]+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，…（3分）
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．                                           …（4分）
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域?yàn)閇$\frac{1}{2}$，2]，…（6分）
∵g（x）=af（x）+b，
∴①當(dāng)a＞0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=1}\\{\frac{1}{2}a+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴a+b=-$\frac{1}{3}$，…（8分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=-1}\\{\frac{1}{2}a+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴a+b=$\frac{1}{3}$．   …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．