【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣ 與x=1時(shí)都取得極值.
(1)求a、b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)x∈[﹣1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.
【答案】
(1)解;f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b
由 解得,
f'(x)=3x2﹣x﹣2=(3x+2)(x﹣1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:
x | (﹣∞,﹣ ) | ﹣ | (﹣ ,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↑ | 極大值 | ↓ | 極小值 | ↑ |
所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(﹣∞,﹣ )和(1,+∞),遞減區(qū)間是(﹣ ,1).
(2)解; ,
當(dāng)x=﹣ 時(shí),f(x)= +c為極大值,而f(2)=2+c,所以f(2)=2+c為最大值.
要使f(x)<c2對(duì)x∈[﹣1,2]恒成立,須且只需c2>f(2)=2+c.
解得c<﹣1或c>2
【解析】(1)求出f′(x),因?yàn)楹瘮?shù)在x=﹣ 與x=1時(shí)都取得極值,所以得到f′(﹣ )=0且f′(1)=0聯(lián)立解得a與b的值,然后把a(bǔ)、b的值代入求得f(x)及f′(x),然后討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的增減區(qū)間;(2)根據(jù)(1)函數(shù)的單調(diào)性,由于x∈[﹣1,2]恒成立求出函數(shù)的最大值值為f(2),代入求出最大值,然后令f(2)<c2列出不等式,求出c的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】判斷居民戶(hù)是否小康的一個(gè)重要指標(biāo)是居民戶(hù)的年收入,某市從轄區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取100個(gè)居民戶(hù),對(duì)每個(gè)居民戶(hù)的年收入與年結(jié)余的情況進(jìn)行分析,設(shè)第i個(gè)居民戶(hù)的年收入xi(萬(wàn)元),年結(jié)余yi(萬(wàn)元),經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理的: =400, =100, =900, =2850.
(1)已知家庭的年結(jié)余y對(duì)年收入x具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,求線(xiàn)性回歸方程;
(2)若該市的居民戶(hù)年結(jié)余不低于5萬(wàn),即稱(chēng)該居民戶(hù)已達(dá)小康生活,請(qǐng)預(yù)測(cè)居民戶(hù)達(dá)到小康生活的最低年收入應(yīng)為多少萬(wàn)元? 附:在y=bx+a中,b= ,a= ,其中 , 為樣本平均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直二面角D﹣AB﹣E中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,AE=EB,點(diǎn)F在CE上,且BF⊥平面ACE;
(1)求證:AE⊥平面BCE;
(2)求二面角B﹣AC﹣E的正弦值;
(3)求點(diǎn)D到平面ACE的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(1)=3,對(duì)任意x∈R,f′(x)<2,則f(x)<2x+1的解集為( )
A.(1,+∞)
B.(﹣1,1)
C.(﹣∞,1)
D.(﹣∞,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,點(diǎn)E在CC1上且C1E=3EC
(1)證明:A1C⊥平面BED;
(2)求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)在銳角中,角的對(duì)邊分別為若, ,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn), 處切線(xiàn)的斜率分別是, ,規(guī)定(為線(xiàn)段的長(zhǎng)度)叫做曲線(xiàn)在點(diǎn)與之間的“彎曲度”,給出以下命題:
①函數(shù)圖象上兩點(diǎn)與的橫坐標(biāo)分別為1和2,則;
②存在這樣的函數(shù),圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù);
③設(shè)點(diǎn), 是拋物線(xiàn)上不同的兩點(diǎn),則;
④設(shè)曲線(xiàn)(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上不同兩點(diǎn), ,且,若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.
其中真命題的序號(hào)為__________.(將所有真命題的序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù)f(x)=x3﹣3x2 , 給出下列四個(gè)命題: ①f(x)是增函數(shù),無(wú)極值;
②f(x)是減函數(shù),有極值;
③f(x)在區(qū)間(﹣∞,0]及[2,+∞)上是增函數(shù);
④f(x)有極大值為0,極小值﹣4;
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),直線(xiàn)PC⊥平面ABC,E,F分別是PA,PC的中點(diǎn).
(1)記平面BEF與平面ABC的交線(xiàn)為l,試判斷直線(xiàn)l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明;
(2)設(shè)AB=PC=2,BC=1,求三棱錐P-BEF的體積.
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