Question

11．已知圓x²+y²=4，則經(jīng)過點M（$\sqrt{3}$，1）的圓的切線方程為$\sqrt{3}x$+y-4=0；若直線ax-y+4=0與圓相交于A、B兩點，且|AB|=2$\sqrt{3}$，則a=$±\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 先求出圓x²+y²=4的圓心O（0，0），k_OP=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，由此能求出經(jīng)過點M（$\sqrt{3}$，1）的圓的切線方程；求出圓心O（0，0）到直線ax-y+4=0的距離d和圓半徑r，由勾股定理得${r}^{2}=gwiy2cu^{2}+（\frac{|AB|}{2}）^{2}$，由此能出a．

解答 解：∵（$\sqrt{3}$）²+1²=4，∴M（$\sqrt{3}，1$）在圓x²+y²=4上，
∵圓x²+y²=4的圓心O（0，0），k_OP=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴經(jīng)過點M（$\sqrt{3}$，1）的圓的切線方程的斜率k=-$\frac{1}{{k}_{OP}}$=-$\sqrt{3}$，
∴經(jīng)過點M（$\sqrt{3}$，1）的圓的切線方程為：
y-1=-$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$），即$\sqrt{3}x+y$-4=0．
圓心O（0，0）到直線ax-y+4=0的距離d=$\frac{|4|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，圓半徑r=2，
∵直線ax-y+4=0與圓相交于A、B兩點，且|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴${r}^{2}=sq2a40s^{2}+（\frac{|AB|}{2}）^{2}$，即4=$\frac{16}{{a}^{2}+1}+3$，
解得a=$±\sqrt{15}$．
故答案為：$\sqrt{3}x+y-4=0$，$±\sqrt{15}$．

點評 本題考查圓的切線方程的求法，考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點到直線的距離公式的合理運用．