Question

【題目】如圖所示多面體的底面是菱形，，平面，平面.

（I）求證：平面；

（II）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）

【解析】

（I）由線面垂直的性質可得，即可得到平面，再根據四邊形為菱形，可證平面，從而得到平面平面，即可得證.

（II）由（I）可知點Q到平面的距離等于點B到平面的距離，取的中點E，連接，，可證平面，最后根據計算可得；

（I）因為平面，平面，所以.

又平面，平面，所以平面.

又四邊形為菱形，所以.

又平面，平面，

所以平面.

又，平面，平面，

所以平面平面.

因為平面，

所以平面.

（II）（I）可知，平面，所以點Q到平面的距離等于點B到平面的距離.

如圖，取的中點E，連接，.

因為四邊形是邊長為2的菱形，，

所以是邊長為2的等邊三角形，

所以，且.

又，平面，平面，

所以平面.

所以點Q到平面的距離即為的長，

所以.