Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為${S_n}，{S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1），（n∈{N^*}）$．則a₁₀=$\frac{1}{1024}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為${S_n}，{S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1），（n∈{N^*}）$，①，則有s_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-1）②；將兩式相減可得a_n=$\frac{1}{3}$（a_n-a_n-1），變形可得a_n=-$\frac{1}{2}$a_n-1，利用s_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1），當(dāng)n=1時(shí)求出a₁的值，分析可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且可得首項(xiàng)與公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為${S_n}，{S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1），（n∈{N^*}）$，①
則有s_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-1）②
①-②可得：a_n=$\frac{1}{3}$（a_n-a_n-1），
變形可得：a_n=-$\frac{1}{2}$a_n-1，
對(duì)于s_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1），
令n=1可得：s₁=a₁=$\frac{1}{3}$（a₁-1），解可得a₁=-$\frac{1}{2}$；
則數(shù)列{a_n}是以a₁=-$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，q=-$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
則a₁₀=a₁×q⁹=$\frac{1}{1024}$；
故答案：$\frac{1}{1024}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式，關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系式求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式．