Question

16．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BC=BB₁=1，D為BC上一點(diǎn)，且滿足AD⊥C₁D．
（1）求證：截面ADC₁⊥側(cè)面BC₁；
（2）求點(diǎn)B到截面ADC₁距離；
（3）求二面角C-AC₁-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD⊥CC₁，AD⊥C₁D，從而AD⊥平面BC₁，由此能證明截面ADC₁⊥側(cè)面BC₁．
（2）連結(jié)A₁C，AC₁，交于E，設(shè)B到面ADC₁的距離為d，由${V}_{B-AD{C}_{1}}={V}_{{C}_{1}-ABD}$，能求出點(diǎn)B到截面ADC₁距離．
（3）過C作CF⊥AC₁于F，連結(jié)EF，推導(dǎo)出∠CEF是二面角C-AC₁-D的平面角，由此能求出二面角C-AC₁-D的正弦值．

解答 證明：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BC=BB₁=1，D為BC上一點(diǎn)，且滿足AD⊥C₁D．
∴AD⊥CC₁，AD⊥C₁D，
∵CC₁∩C₁D=C₁，∴AD⊥平面BC₁，
∵AD?截面ADC₁，∴截面ADC₁⊥側(cè)面BC₁．
解：（2）連結(jié)A₁C，AC₁，交于E，
由（1）知AD⊥BC，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BC=BB₁=1，∴△ABC是正三角形，
∴D為BC中點(diǎn)，E為A₁C中點(diǎn)，
∴ED∥A₁B，∴A₁B∥面AC₁D，
設(shè)B到面ADC₁的距離為d，
∵${V}_{B-AD{C}_{1}}={V}_{{C}_{1}-ABD}$，∴$\frac{1}{3}{S}_{△AD{C}_{1}}•d=\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•C{C}_{1}$，
解得d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴點(diǎn)B到截面ADC₁距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（3）過C作CF⊥AC₁于F，連結(jié)EF，
∵截面ADC₁⊥側(cè)面BC₁，截面ADC₁∩側(cè)面BC₁=C₁D，
∴CF⊥面DAC₁，
又EF為斜線CF在面ADC₁上的射影，
∴FE⊥AC₁，
∴∠CEF是二面角C-AC₁-D的平面角，
在Rt△C₁CD中，由題意得CF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠CEF=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴二面角C-AC₁-D的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．