【題目】如圖所示,在中,,,與相交于點M.設(shè),.
(1)試用向量表示.
(2)在線段上取點E,在線段取點F,使過點M.設(shè),,其中當與重合時,,,此時;當與重合時,,,此時.能否由此得出般結(jié)論:不論在線段上如何變動,等式恒成立,請說明理由.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】
(1)設(shè),根據(jù)三點共線,得一個等量關(guān)系;再根據(jù)三點共線,得另一個等量關(guān)系,最后解方程組即得結(jié)果;
(2)根據(jù)三點共線,得,再根據(jù)平面向量基本定理得,最后消去即得結(jié)論.
(1)不妨設(shè),一方面由三點共線,可知存在(,且)使得,則,于是.
又,所以,從而即①.另一方面由三點共線,可知存在(且)使得,則,于是.
又,
所以,
從而即②.
由①②可得,.
故.
(2)可以得出結(jié)論.理由:
由于三點共線,所以存在實數(shù)(且)使得,于是.
又,,
所以,
于是,
從而消去即得.
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【題目】已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù),當時,,若關(guān)于的方程有且僅有6個不同實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍為______.
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【題目】已知直線、與平面、,下列命題:
①若平行內(nèi)的一條直線,則;②若垂直內(nèi)的兩條直線,則;③若,,且,,則;④若,,且,則;⑤若,且,則;⑥若,,,則.
其中正確的命題為______(填寫所有正確命題的編號).
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【題目】在一個風雨交加的夜里,某水庫閘房(設(shè)為A)到某指揮部(設(shè)為B)的電話線路有一處發(fā)生了故障.這是一條長的線路,想要盡快地查出故障所在.如果沿著線路一小段小段地查找,困難很多,每查一小段需要很長時間.
(1)維修線路的工人師傅隨身帶著話機,他應(yīng)怎樣工作,才能每查一次,就把待查的線路長度縮減一半?
(2)要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到,最多要查多少次?
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【題目】(題文)隨著手機的發(fā)展,“微信”越來越成為人們交流的一種方式.某機構(gòu)對“使用微信交流”的態(tài)度進行調(diào)查,隨機抽取了50人,他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”的贊成人數(shù)如下表:
年齡(單位:歲) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(1)若以“年齡45歲為分界點”,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān).
年齡不低于45歲的人數(shù) | 年齡低于45歲的人數(shù) | 合計 | |
贊成的人數(shù) | |||
不贊成的人數(shù) | |||
合計 |
(2)若從年齡在[25,35)和[55,65)的被調(diào)查人中按照分層抽樣的方法選取6人進行追蹤調(diào)查,并給予其中3人“紅包”獎勵,求3人中至少有1人年齡在[55,65)的概率.
參考公式:,.
參考數(shù)據(jù):
0.100 | ||||
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【題目】已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直,∠ABC=900,BC=2,AC=,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.
(Ⅰ)求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小。
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【題目】已知五面體ABCDEF中,四邊形CDEF為矩形,,CD=2DE=2AD=2AB=4,AC=,.
(1)求證:AB平面ADE;
(2)求平面EBC與平面BCF所成的銳二面角的余弦值.
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【題目】設(shè)橢圓的右焦點為,右頂點為,已知,其中為原點,為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點的直線與橢圓交于點(不在軸上),垂直于的直線與交于點,與軸交于點,若,且,求直線的斜率的取值范圍.
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