Question

4．若數(shù)列{a_n}滿足（2n+3）a_n+1-（2n+5）a_n=（2n+3）（2n+5）lg（1+$\frac{1}{n}$），且a₁=5，則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{2n+3}$}的第2016項為（　�。�

• A． lg2017
• B． lg2016
• C． 1+lg2016
• D． 1+lg2017

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足（2n+3）a_n+1-（2n+5）a_n=（2n+3）（2n+5）lg（1+$\frac{1}{n}$），可得$\frac{{a}_{n+1}}{2n+5}$-$\frac{{a}_{n}}{2n+3}$=$lg\frac{n+1}{n}$．利用“累加求和”方法、對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足（2n+3）a_n+1-（2n+5）a_n=（2n+3）（2n+5）lg（1+$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{2n+5}$-$\frac{{a}_{n}}{2n+3}$=$lg\frac{n+1}{n}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{2n+3}$=（$\frac{{a}_{n}}{2n+3}$-$\frac{{a}_{n-1}}{2n+1}$）+（$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{2n-1}$）+…+$（\frac{{a}_{3}}{9}-\frac{{a}_{2}}{7}）$+$（\frac{{a}_{2}}{7}-\frac{{a}_{1}}{5}）$+$\frac{{a}_{1}}{5}$
=$lg\frac{n}{n-1}$+$lg\frac{n-1}{n-2}$+…+$lg\frac{2}{1}$+1
=lgn+1．
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{2n+3}$}的第2016項=1+lg2016．
故選：C．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、“累加求和”方法、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．