Question

15．確定 y=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)的極大值、極小值、最大值、最小值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：函數(shù)的定義域D=（-∞，+∞），且在（-∞，+∞）上，
y′=$\frac{（1+x）（1-x）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
令 y′=0，得 x=1或 x=-1，
在（-∞，-1）內(nèi)，y′＜0；在（-1，1）內(nèi)，y′＞0；
在（1，+∞）內(nèi)，y′＜0，
∴函數(shù)在（-∞，-1）遞減，在（-1，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴x=-1時，函數(shù)有極小值，極小值是-$\frac{1}{2}$，
x=1時，函數(shù)有極大值，極大值是$\frac{1}{2}$，
函數(shù)無最大值和最小值．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．