【題目】如圖,多面體ABCDE中,AB=AC,平面BCDE⊥平面ABC,BE∥CD,CD⊥BC,BE=1,BC=2,CD=3,M為BC的中點(diǎn).
(1)若N是棱AE上的動(dòng)點(diǎn),求證:DE⊥MN;
(2)若平面ADE與平面ABC所成銳二面角為60°,求棱AB的長(zhǎng).

【答案】
(1)證明:連結(jié)EM、AM、DM,

∵AB=AC,且M為BC的中點(diǎn),∴AM⊥BC,

∵平面BCDE⊥平面ABC,∴AM⊥平面BCDE,∴AM⊥DE,

∵在直角梯形BCDE中,BE=1,BC=2,CD=3,

∴△DEM中,DE=2 ,EM= ,DM= ,

∴DE2+EM2=DM2,∴DE⊥EM,

又AM∩EM=M,∴DE⊥平面AEM,

∵M(jìn)N平面AEM,∴DE⊥MN.


(2)解:取DE的中點(diǎn)P,則PM∥BE,

∵BE⊥BC,∴PM⊥BC,由(1)知,AM⊥平面BCDE,

∴MB、MA、MP兩兩垂直,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系M﹣xyz,

設(shè)AM=t,(t>0),則A(0,t,0),D(﹣1,0,3),E(1,0,1),

=(﹣1,﹣t,3), =(2,0,﹣2),

設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),

,令x=t,則 =(t,2,t),

∵平面ABC的一個(gè)法向量 =(0,0,1),

∵二面角A﹣DE﹣B為60°,

∴|cos60°|=|cos< >|=| |=

解得t= ,此時(shí)AB=


【解析】(1)連結(jié)EM、AM、DM,推導(dǎo)出AM⊥DE,DE⊥EM,從而DE平面AEM,由此能證明DE⊥MN.(2)取DE的中點(diǎn)P,建立空間直角坐標(biāo)系M﹣xyz,利用向量法能求出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,需要了解相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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不關(guān)注

關(guān)注

總計(jì)

男生

30

15

45

女生

45

10

55

總計(jì)

75

25

100

根據(jù)表中數(shù)據(jù),通過(guò)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量K2= ,并參考一下臨界數(shù)據(jù):

P(K2>k0

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.84

5.024

6.635

7.879

10.83

若由此認(rèn)為“學(xué)生對(duì)2018年俄羅斯年世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)”,則此結(jié)論出錯(cuò)的概率不超過(guò)(
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