Question

19．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosθ\\ y=-4+2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）已知A（2，0），B（0，2），圓C上任意一點(diǎn)M（x，y），求△ABM面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosθ\\ y=-4+2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．利用平方關(guān)系可得：（x-3）²+（y+4）²=4．展開(kāi)可得：x²+y²-6x+8y+21=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得圓C的極坐標(biāo)方程．
（2）直線AB的方程為：$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$=1，即x+y-2=0．圓心C（3，-4）到直線AB的距離d=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＞2，可得直線AB與AB相離．可得圓C上任意一點(diǎn)M（x，y）直線AB的距離的最大值，可得△ABM面積的最大值=$\frac{1}{2}$|AB|（d+r）．

解答 解：（1）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosθ\\ y=-4+2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．利用平方關(guān)系可得：（x-3）²+（y+4）²=4．
展開(kāi)可得：x²+y²-6x+8y+21=0．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得圓C的極坐標(biāo)方程：ρ²-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．
（2）直線AB的方程為：$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$=1，即x+y-2=0．
圓心C（3，-4）到直線AB的距離d=$\frac{|3-4-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＞2，可得直線AB與AB相離．
∴圓C上任意一點(diǎn)M（x，y）直線AB的距離的最大值=d+r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2，
∴△ABM面積的最大值=$\frac{1}{2}$|AB|（d+r）=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$×（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2）=3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．