Question

9．f（x）是R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f（2）=0，則f（x）=0在[0，6]內(nèi)解的個數(shù)為9．

Answer 1

分析 由函數(shù)的周期為3可得f（x+3）=f（x），再結(jié)合函數(shù)的奇偶性確定出函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)，注意找全零點(diǎn)，不能漏掉．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）的周期為3可得f（x+3）=f（x），
由于f（2）=0，可得出f（5）=f（2）=0，x=2與x=5是方程f（x）=0的解；
又由f（x）是R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，又由函數(shù)f（x）的周期為3，則f（3）=f（6）=f（0）=0，即x=0、x=3、x=6是方程f（x）=0的解；
又由f（x）為奇函數(shù)，則f（-2）=-f（2）=0，又可得出f（4）=f（1）=f（-2）=0，即x=1、x=4是方程f（x）=0的解；
又由f（x）是周期為3的奇函數(shù)，則有f（-1.5）=-f（1.5）且f（-1.5）=f（1.5），則有f（1.5）=0，又由其周期為3，則有f（4.5）=f（1.5）=0，
即x=1.5、x=4.5是方程f（x）=0的解；
綜合可得：x=2、x=5、x=0、x=3、x=6、x=1、x=4、x=1.5、x=4.5是方程f（x）=0的解，即f（x）=0在[0，6]內(nèi)有9個解；
故答案為：9．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)的求值問題，考查函數(shù)周期性的定義，函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，把握住函數(shù)零點(diǎn)的定義是解決本題的關(guān)鍵．