Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x，下列命題正確的有①②④．（寫出所有正確命題的編號）
①f（x）是奇函數(shù)；
②f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)；
③方程f（x）=x²+2x有且僅有1個實數(shù)根；
④如果對任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值為2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，依次分析4個命題，對于①、由奇函數(shù)的定義分析可得①正確；對于②、對函數(shù)f（x）=e^x-e^-x求導，分析可得f′（x）＞0，分析可得②正確；對于③、g（x）=e^x-e^-x-x²-2x，分析可得g（0）=0，即方程f（x）=x²+2x有一根x=0，進而利用二分法分析可得g（x）有一根在（3，4）之間，即方程f（x）=x²+2x至少有2跟，故③錯誤，對于④、由函數(shù)的恒成立問題的分析方法，分析可得④正確，綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，依次分析4個命題：
對于①、f（x）=e^x-e^-x，定義域是R，且f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），f（x）是奇函數(shù)；故①正確；
對于②、若f（x）=e^x-e^-x，則f′（x）=e^x+e^-x＞0，故f（x）在R遞增；故②正確；
對于③、f（x）=x²+2x，令g（x）=e^x-e^-x-x²-2x，
令x=0可得，g（0）=0，即方程f（x）=x²+2x有一根x=0，
g（3）=e³-$\frac{1}{{e}^{3}}$-13＜0，g（4）=e⁴-$\frac{1}{{e}^{4}}$-20＞0，
則方程f（x）=x²+2x有一根在（3，4）之間，
故③錯誤；
對于④、如果對任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，即e^x-e^-x-kx＞0恒成立，
令h（x）=e^x-e^-x-kx，且h（0）=0，
若h（x）＞0恒成立，則必有h′（x）=e^x+e^-x-k＞0恒成立，
若e^x+e^-x-k＞0，即k＜e^x+e^-x=e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$恒成立，
而e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$≥2，若有k＜2，
故④正確；
綜合可得：①②④正確；
故答案為：①②④．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定，以及方程的根與恒成立問題的綜合應用，③關(guān)鍵是利用二分法．