Question

已知動點P（x，y）滿足約束條件

x+y-3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

，O為坐標原點，定點A（3，4），則向量

OP

在向量

OA

上的投影的取值范圍為

[

3

5

，2]．

．

Answer 1

分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，利用向量的數(shù)量積將投影|

OP

|•cos∠AOP轉(zhuǎn)化成

3x+4y

5

，設z=3x+4y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=3x+4y過可行域內(nèi)的點時，從而得到|

OP

|•cos∠AOP的最值即可．

解答：解：在平面直角坐標系中畫出不等式組所表示的可行域（如圖），
由于|

OP

|•cos∠AOP=

| OP |•| OA |cos∠AOP

| OA |

=

OP • OA

| OA |

，而

OA

=（3，4），

OP

=（x，y），OA的長度為5
所以|

OP

|•cos∠AOP=

3x+4y

5

，
令z=3x+4y，即z表示直線y=-

3

4

x+

1

4

z在y軸上的截距，
由圖形可知，當直線經(jīng)過可行域中的點B時，z取到最小值，
由B（1，0），這時z=3，
所以|

OP

|•cos∠AOP=

3

5

，
故|

OP

|•cos∠AOP的最小值等于

3

5

．
由圖形可知，當直線經(jīng)過可行域中的點C時，z取到最大值，
由C（2，1），這時z=10，
所以|

OP

|•cos∠AOP=2，
故|

OP

|•cos∠AOP的最大值等于2．
故答案為：[

3

5

，2]．

點評：本題主要考查了向量的數(shù)量積、簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．巧妙識別目標函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎，縱觀目標函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規(guī)劃問題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問題得以深化．