Question

15．已知P為函數(shù)$y=\frac{1}{4}{x^2}$圖象上一動點，過點P做x軸的垂線，垂足為B，已知A（3，2），則|PA|+|PB|的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{5}+\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{10}-1$
• C． $2\sqrt{3}+2$
• D． $3\sqrt{5}-2$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線方程得到拋物線焦點為F，并且作出它的準(zhǔn)線：x=-1，延長PB交準(zhǔn)線于點C，連接PF、AF，根據(jù)拋物線的定義可得得：|PA|+|PB|=|PA|+|PC|-1=|PA|+|PF|-1．再由三角形兩邊之和大于第三邊可得：P點滿足|PA|+|PF|≥|AF|，當(dāng)且僅當(dāng)點P落在線段AF上時，|PA|+|PF|=|AF|為最小值，最后根據(jù)兩點的距離公式得到|PA|+|PF|的最小值，然后求解即可．

解答 解：∵函數(shù)$y=\frac{1}{4}{x^2}$，即拋物線方程為x²=4y，
∴拋物線的焦點為F（0，1），準(zhǔn)線為y=-1，延長P，B交準(zhǔn)線于點C，連接PF、AF，根據(jù)拋物線的定義得：|PF|=|PC|
∴|PA|+|PB|=|PA|+|PC|-1=|PA|+|PF|-1，當(dāng)P點不在AF上時，
有|PA|+|PF|＞|AF|；
當(dāng)P點剛好落在AF上時，有|PA|+|PF|=|AF|，
∴P點滿足|PA|+|PF|≥|AF|，
當(dāng)且僅當(dāng)點P落在線段AF上時，|PA|+|PF|=|AF|為最小值，
所以|PA|+|PF|的最小值為$\sqrt{{3}^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
同時|PA|+|PM|的最小值是|PA|+|PC|-1=|PA|+|PF|-1=$\sqrt{10}-1$
故選：B．

點評 本題給出拋物線上一個動點P在y軸上的射影點為M，求點P到B點和A的距離之和的最小值，著重考查了拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)和兩點間的距離公式等知識點，屬于中檔題．