【題目】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,且到原點(diǎn)的距離為.

(1)求拋物線的方程;

(2)已知點(diǎn),延長交拋物線于點(diǎn),證明:以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓,必與直線相切.

【答案】(1);(2)證明見解析.

【解析】

試題分析:(1)由點(diǎn)到直線距離公式求出的值,在代入可求得,進(jìn)而得拋物線的方程;(2)由(1)知點(diǎn)的坐標(biāo),可得直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立可求出,進(jìn)而可得直線的方程及直線的方程,只需證明到直線、距離相等即可.

試題解析:(1)由題意可得:,

解得,

所以拋物線的方程為.

(2)設(shè)以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的半徑為.

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,

所以,

由拋物線的對稱性,不妨設(shè).

,可得直線的方程為.

,得

解得,從而.

,

故直線的方程為,

從而.

又直線的方程為,

所以點(diǎn)到直線的距離為.

這表明以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓必與直線相切.

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