設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù)。
①求的單調(diào)區(qū)間與極值;
②求證:當(dāng)且時(shí),。
(1)解:由
令,得于是當(dāng)的變化情況如下:
故的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,在處取得極小值,極小值為 - 0 +
(2)設(shè)。對(duì)于任意的>0,所以在R內(nèi)單調(diào)遞增。
得到。
解析試題分析:(1)解:由
令,得于是當(dāng)的變化情況如下:
故的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,在處取得極小值,極小值為 - 0 +
(2)證:設(shè)。由(1)知>時(shí),>0
于是對(duì)于任意的>0,所以在R內(nèi)單調(diào)遞增。
于是當(dāng)>時(shí),對(duì)任意的>
而=0,從而對(duì)于任意的,>0.
即>0,故
考點(diǎn):本題主要考查導(dǎo)數(shù)計(jì)算,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。
點(diǎn)評(píng):典型題,在給定區(qū)間,導(dǎo)數(shù)值非負(fù),函數(shù)是增函數(shù),導(dǎo)數(shù)值為非正,函數(shù)為減函數(shù)。求極值的步驟:計(jì)算導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、討論駐點(diǎn)附近導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定極值。不等式證明中,構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵。本題利用“本解法”,直觀明了。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù) (R).
(1) 若,求函數(shù)的極值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),若存在,求出的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由。
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已知.
(1)已知函數(shù)h(x)=g(x)+ax3的一個(gè)極值點(diǎn)為1,求a的取值;
(2) 求函數(shù)在上的最小值;
(3)對(duì)一切,恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為,直線與軸相交于點(diǎn).若點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒小于1,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-.
(1)求f(x)的極小值; (2)若a、b>0,求證:lna-lnb≥1-.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若不等式在區(qū)間(0,+上恒成立,求的取值范圍;
(3)求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本題滿分14分)設(shè)函數(shù),且為的極值點(diǎn).
(Ⅰ) 若為的極大值點(diǎn),求的單調(diào)區(qū)間(用表示);
(Ⅱ) 若恰有兩解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),設(shè)曲線在與軸交點(diǎn)處的切線為,為的導(dǎo)函數(shù),滿足.
(1)求的單調(diào)區(qū)間.
(2)設(shè),,求函數(shù)在上的最大值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)(a為實(shí)常數(shù)).
(1)若,求證:函數(shù)在(1,+.∞)上是增函數(shù);
(2)求函數(shù)在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的值;
(3)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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