Question

2．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)點P在線段CC₁上，直線DP與平面A₁BD所成的角為α，則sinα的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]
• B． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]
• C． [$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1]
• D． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出sinα的取值范圍．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1．
則D（0，0，0），A₁（1，0，1），
B（1，1，0），設(shè)P（0，1，t），
（0≤t≤1），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
$\overrightarrow{DP}$=（0，1，t），
設(shè)平面BDA的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，
得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∵直線DP與平面A₁BD所成的角為α，
∴sinα=$\frac{|\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+t}{\sqrt{3}•\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
當t=0時，sinθ取最小值$\frac{\sqrt{3}}{3}$；當t=1時，sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴sinα的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]．
故選：D．

點評 本題考查線面角的正弦值的取值范圍的求法，考查空間想象能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．