Question

14．已知函數(shù)f（x）=cosx•sin$（{x+\frac{π}{3}}）$-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）單調(diào)增區(qū)間；
（3）求f（x）對稱中心．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性即可得答案；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可得到f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）由圖象的對稱性即可得到f（x）對稱中心．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=cosx•sin$（{x+\frac{π}{3}}）$-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=cosx•（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$═π；
（2）由（1）可知：f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（3）令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，
∴f（x）對稱中心為（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，0）．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期性，單調(diào)性以及圖象的對稱性，屬于中檔題．