Question

19．若函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y均有f（x）•f（y）=f（x+y），且對(duì)于任意的x都有f（x）＞0，且當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞1．
（1）求證：f（x）為R上的減函數(shù)；
（2）當(dāng)f（4）=$\frac{1}{16}$時(shí)，若f（x²-3x+2）≤$\frac{1}{4}$，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x₁＞x₂且x₁，x₂∈R，有f（x₁）•f（x₂-x₁）=f（x₂），又x₂-x₁＜0，即f（x₂-x₁）＞1故$\frac{{f（{x_2}）}}{{f（{x_1}）}}=f（{x_2}-{x_1}）＞1$，從而確定f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定即可；
（2）由f（4）=$\frac{1}{16}=f（2+2）={f^2}$（2）⇒故f（2）=$\frac{1}{4}$，不等式可變形為f（x²-3x+2）≤f（2）即x²-3x≥0，從而求解．

解答 （1）證明：令x₁＞x₂且x₁，x₂∈R
有f（x₁）•f（x₂-x₁）=f（x₂），又x₂-x₁＜0，即f（x₂-x₁）＞1
故$\frac{{f（{x_2}）}}{{f（{x_1}）}}=f（{x_2}-{x_1}）＞1$，又f（x）＞0∴f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）為R上的減函數(shù)； …（6分）
（2）f（4）=$\frac{1}{16}=f（2+2）={f^2}$（2）⇒故f（2）=$\frac{1}{4}$，…（8分）
則原不等式可變形為f（x²-3x+2）≤f（2）
即x²-3x≥0------------（10分）
解得：x≥3或x≤0------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 以及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性，及利用單調(diào)性解不等式問(wèn)題．此類題要求答題者有較高的數(shù)學(xué)思辨能力，能從所給的條件中尋找到證明問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)出來(lái)．屬于中檔題．