Question

14．已知a≥2，函數(shù)F（x）=min{x³-x，a（x+1）}，其中min{p，q}=$\left\{\begin{array}{l}{p，p≤q}\\{q，p＞q}\end{array}\right.$．
（1）若a=2，求F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)F（x）在[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=x³-x，g（x）=a（x+1）=2（x+1），畫出函數(shù)f（x），g（x）的圖象，結(jié)合圖象求出F（x）的遞減區(qū)間即可；
（2）根據(jù)a的范圍，在[-1，1]上，F(xiàn)（x）=f（x）=x³-x，求出F（x）的最大值即可．

解答 解：（1）令f（x）=x³-x，g（x）=a（x+1）=2（x+1），
令f（x）=g（x），解得：x=-1或x=2，
畫出函數(shù)f（x），g（x）的圖象，如圖示：
，
顯然x≤1時(shí)，f（x）≤g（x），x＞1時(shí)，f（x）＞g（x），
故F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-x，x≤2}\\{2（x+1），x＞2}\end{array}\right.$，
故F（x）在在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）遞減；
（2）由（1）得：a≥2時(shí)，F(xiàn)（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-x，x≤\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}}\\{a（x+1），x＞\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}}\end{array}\right.$，
而$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$＞2，
故在[-1，1]上，F(xiàn)（x）=f（x）=x³-x，
而f（x）在[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）遞增，在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）遞減，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]遞增，
故F（x）的最大值是F（1）=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．