Question

3．求下列在直線l的方程
（1）過(guò)點(diǎn)A（0，2），它的傾斜角為正弦值是$\frac{3}{5}$；
（2）過(guò)點(diǎn)A（2，1），它的傾斜角是直線l₁：3x+4y+5=0的傾斜角的一半；
（3）過(guò)點(diǎn)A（2，1）和直線x-2y-3=0與2x-3y-2=0的交點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出斜率，再根據(jù)斜截式求出直線方程；
（2）求出3x+4y+5=0的傾斜角，利用二倍角公式求出過(guò)點(diǎn)A（2，1）的直線傾斜角以及斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程；
（3）求出直線x-2y-3=0與2x-3y-2=0的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式求出直線方程即可．

解答 解：（1）設(shè)直線l的傾斜角為α，
則sinα=$\frac{3}{5}$，∴cosα=±$\sqrt{1{-sin}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，
tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=±$\frac{3}{4}$，
由斜截式得y=±$\frac{3}{4}$x+2，
即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0．
（2）設(shè)直線l與l₁的傾斜角分別為α、β，則α=$\frac{β}{2}$，
因tanβ＜0，所以$\frac{π}{2}$＜β＜π，故$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，所以tanα＞0．
又tanβ=-$\frac{3}{4}$，則-$\frac{3}{4}$=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$，解得tanα=3，或tanα=-$\frac{1}{3}$（舍去），
由點(diǎn)斜式得y-1=3（x-2），即3x-y-5=0．
（3）解方程組 $\left\{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{2x-3y-2=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
即兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，-4）．
由兩點(diǎn)式得 $\frac{y-1}{-4-1}$=$\frac{x-2}{-5-2}$，即5x-7y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，二倍角的正切函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．