Question

7．已知函數(shù)f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）已知函數(shù)函數(shù)f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx．
化解可得：f（x）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x$+\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$
由$2kπ-\frac{π}{2}≤$2x$+\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
解得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$kπ-\frac{π}{3}$，$kπ+\frac{π}{3}$]，（k∈Z）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2x$+\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$
當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，
可得：$-\frac{π}{6}$≤2x$+\frac{π}{6}$$≤\frac{5π}{6}$
所以$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}≤$sin（2x$+\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$$≤1+\frac{1}{2}$．即0≤f（x）$≤\frac{3}{2}$
故得f（x）在區(qū)間在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值為$\frac{3}{2}$，最小值為0．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．